vamos fazer uma analógia da lighting para on-chain:
On-chain : confre seguro onde vc guarda seus btc.
lighting : Carteira para uso cotidiano como fosse um "PIX" da vida.

o tradicional é a primeira camada do btc, você tem controle e transparência da transação da sua carteira wallet.
Já a segunda camada seria lighting para ser uma alternativa rápida e gratuita de fazer transferência.

Lógico que cada camada possui vantagens e desvantagens:

Onchain: 
vantagens - Controle total dos btc's 
desvantagens - oscilação da taxa de transferência e demora no processo para fazer a transação.

Lighting:
vantagens - transferência rápido e de graça.
desvantagens - não é auto custódia*, logo vc fica dependente de outros nodes para fazer o procedimento.

*(obs: vc pode até rodar seu próprio fullnode, mas tem que fazer as config's e deixar o pc ligado).

Agora sobre as cold/hot wallets é muito simples:

Coldwallet : uma carteira fria que nunca acessou a internet, sendo uma carteira muito segura.

Hotwallet : uma carteira quente que usa a internet 
(apesar dos riscos de segurança, é mais prático).

Existe também várias tipos de wallets como metalwallet, hardwallet, brainwallet e dentre outros.